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3D旋转矩阵的推导过程

时间:2019-10-25 01:12

  包含平移的线D中的仿射变换不能用 3 x 3 矩阵表达,必须使用4 x 4矩阵。

  一般来说,变换物体相当于以相反的量变换描述这个物体的坐标系。当有多个变换时,则需要以相反的顺序变换相反的量。例如,将物体顺时针旋转20度,扩大200%,等价于将坐标系缩小200%,再逆时针旋转20度。

  在2D环境中,物体只能绕某个点旋转,因为现在暂不考虑平移。这里我们进一步限制物体,使其只绕原点旋转。2D中绕原点的旋转只有一个参数,角度,它描述了旋转量。逆时针旋转经常(不是必须)被认为是正方向,顺时针方向是负方向。图8.5展示了基向量p,q绕原点旋转,得到新的基向量p,q。

  在3D场景中,绕轴旋转而不是点(此时轴指的是旋转所绕的直线,不一定是笛卡尔坐标轴x,y,z)。再次声明,这里暂不考虑平移,所以只讨论旋转轴穿过原点的情况。

  绕轴旋转角度时,必须知道哪个方向被认为“正”,哪个方向被认为“负”,左手坐标系中定义此方向的规则为左手法则。首先,要明确旋转轴指向哪个方向。当然,旋转轴在理论上是无限延伸的,但我们还是要认为它有正端点和负端点。与笛卡尔坐标轴定义坐标系相同,左手法则是这样的:伸出左手,大拇指向上,其余手指弯曲。大拇指指向旋转轴的正方向,此时,四指弯曲的方向就是旋转的正方向。如图8.6所示。

  如果用的是右手坐标系,也有类似的法则,不过是用右手代替左手,如图8.7所示:

  最为常见的旋转是绕某坐标轴的简单旋转,让我们从绕x轴旋转开始,如图8.9所示:

  当然也能绕3D中的任意轴旋转。因为这里不考虑平移,可以假设旋转轴通过原点,这种旋转比绕坐标轴的旋转更复杂也更少见。用单位向量n描述旋转轴,和前面一样用描述旋转量。

  让我们导出绕轴n旋转角度的矩阵,也就是说,我们想得到满足下面条件的矩阵R(n, ):

  v是向量v绕轴n旋转后的向量。让我们看看能否用v,n和表示v。我们的想法是在垂直于n的平面中解决这个问题,那么这就转换为了一个简单的2D问题。为了做到这一点,将v分解为两个分量:v和v,分别平行于n和垂直于n,并有v=v + v。因为v平行于n,所以绕n旋转不会影响它。故只要计算出v绕n旋转后的v,就能得到v=v+v。为了计算v,我们构造向量v,v和临时向量w,如图8.12所示:

  (1)v是v平行于n的分量,另一种说法就是v是v在n上的投影,用(v.n)n计算。

  (3)w是同时垂直于v和v的向量,它的长度和v的相同。w和v同在垂直于n的平面中,w是v绕n旋转90度的结果,由nxv可以得到。

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